这一部分我们讨论一下粗糙集理论中的基本概念，为后面讨论的知识约简算法做铺垫。
知识与分类
粗糙集理论认为，知识直接与真实或抽象世界的不同分类模式联系在一起，即任何客观事物都可以根据知识（事物的不同属性或特征）进行分类，所以我们说知识是具有颗粒性的。
关于知识有如下的定义：
1、论域U的任何一个子集X⊆U称为论域U的一个概念或者范畴（也叫信息粒）；
2、论域U中任何子集簇（概念簇）称为关于U的（抽象）知识。
粗糙集理论中我们主要讨论那些能够在论域U上形成划分和覆盖的知识，既然划分和等价关系是等价的，所以我们通常用等价关系来表示分类或者知识。
所以，我们讨论的数据集的知识，就是将数据集完成划分的等价关系，而后面讨论的知识约简，也就是对等价关系进行约简,^_^。
知识库
给定一个论域U和U上的一簇等价关系S，称二元组K = (U,S)是关于论域U的一个知识库。
不可辨关系
给定一个知识库K = (U,S)，若P⊆S，且P ≠∅，则∧P（P中所有等价关系的交集）仍然是论域U上的一个等价关系，称为P上的不可辨关系，记为IND(P)，也常简记为P：
U/IND(P)便是与等价关系IND(P)相关的知识，IND(P)称为知识库K中关于论域U的P-基本知识，IND(P)的所以等价类也成为基本概念(范畴)。因为可以看到IND(P)是P中所有等价关系的交集，所以可以认为是由P产生的”比P中任一关系更强“的等价关系，对U的划分理论上应该更细。
特殊的，如果Q∈S，则称Q是关于论域U的Q-初等知识，Q的等价类为知识S的Q初等概念(范畴)。
粗糙集的基本定义
集合的下近似和上近似
给定知识库K = (U,S)，则对于X⊆U和论域上的一个等价关系R，定义：
X关于R的下近似：
X关于R的上近似：
如果X的下近似和上近似相等，那么称X是关于论域U的相对于知识R的R-精确集或R-可定义集，反之则为不可定义集，或者粗糙集。
X的R正域：（latex编辑公式真香^_^）
粗糙集合论的成员关系
和经典集合论的“非此即彼”不同，粗糙集合论的成员关系可以表示为：根据知识R，若$x \in \underline{R}(X)$，则x肯定属于集合X；若$x \in \overline{R}(X)$，则x可能属于集合X；若$x \notin \overline{R}(X)$，则x肯定不属于集合X。
知识约简
知识的约简与核
知识约简有两个基本概念，约简(reduction)和核(core)。由于涉及到知识的独立性，所以我们先介绍知识独立性的定义：
给定一个知识库K = (U,S)，和知识库中的一个等价关系簇$P \subseteq S\,\forall R \in P$，若：
成立，则称知识R为P不必要的，反之则为必要的。如果对每个$R \in P$，R都为P中必要的，则称P为独立的，反之P为依赖的或者不独立的。且有定理，如果知识P是独立的，$\forall G \subseteq P$，则G也一定是独立的。
知识的约简
给定一个知识库K = (U,S)，和知识库上的一簇等价关系$P \subseteq S$，对任意的$G \subseteq P$，若G满足如下要求：
(1)G是独立的；
(2)IND(G) = IND(P)。
则称G是P的一个简约，记为$G \in RED(P)$，RED(P)表示P的全体简约的集合。这里再回顾一下关系的定义，等价关系实质是对应一种对论域U的划分，所以上述(2)的相等，指的便是得到相同的划分。
知识的核
给定一个知识库K =(U,S)和知识库上的一簇等价关系，$P \subseteq S$，对$\forall R \in P$，如果R满足：
则称R为P中必要的，P中所有的必要的知识组成的集合称为P的核，记为CORE(P)。且有$CORE(P) = \cap RED(P)$。
知识的相对核和相对约简
知识的相对约简指的是在不影响一个属性（条件属性）对另一个属性（决策属性）的分类能力的情况下，对条件属性的缩减。
首先给出知识Q相对于知识P的正域的概念：
实质上，它是论域U中所有根据分类U/P的信息可以准确划分到关系Q的等价类中去的对象集合。
接着给出相对必要性和相对独立的定义：
给定一个知识库K = (U,S)和两个等价关系簇$P\,Q \subseteq S\,\forall R \in P$，若
成立，则称知识R为P中(Q不必要)(连读)的，反之则为P中(Q必要)的。简便起见，一般用$pos_{P}(Q)$代替$pos_{IND(P)}(IND(Q))$。
如果对于每个$R \in P$，R都为P中Q必要的，则称P为Q独立的，反之则是Q依赖的或者Q不独立的。
知识的相对约简
给定一个知识库k=(U,S)和知识库上的两个等价关系簇$P,Q \subseteq S$，对任意的$G \subseteq P$，若G满足以下两条：
(1)G是Q独立的，即G是P的Q独立子簇；
(2)$pos_{G}(Q) = pos_{P}(Q)$
则称G是P的一个Q约简，记为$G \in RED_{Q}(P)$，其中$RED_{Q}(P)$表示所有的P的Q约简的集合。
知识的相对核
给定一个知识库K = (U,S)和知识库上的两个等价关系簇$P\,Q\subseteq S$，对$\forall R \in P$，若R满足：
则称R为P中的Q必要的，P中所有的Q必要的知识组成的集合称为P的Q核，或P的相对于Q的核，记为$CORE_{Q}(P)$。且有$CORE_{Q}(P) = \cap RED_{Q}(P)$。如果P=Q，则相对核和相对约简的知识(这个知识不是那个知识QAQ)就退化到上一部分的内容了。
粗糙集理论中的知识表示
称四元组KRS = (U,A,V,f)是一个知识表达系统，其中，
U：论域
A：属性的非空有限集合，可记为$A_{t}$
V：全体属性的值域，$V = \bigcup_{\alpha \in A} V_{\alpha}$，$V_{\alpha}$表示属性α的值域
f：表示$U\times A\to V$的一个映射，称为信息函数
写到这里，粗糙集理论的内容已经基本和网上的博客，包括wiki一致了，概念也由“关系”、“知识”转变为了“属性”，其实道理都是一致的。
一般地，知识表达系统主要分为两种类型：一类是信息系统，也叫信息表，即不含决策属性的知识表达系统；另一类是决策系统，也叫决策表，即含有决策属性的知识表达系统。因为两种系统的知识约简算法思想是共通的，而且我主要使用的是决策表的约简算法，所以下个blog将会着重讨论决策表的知识约简算法。